科系解析

首頁 > 顧問講座 > 科系解析


在數學的領域分有純數學(Pure Mathematics)與應用數學(Applied Mathematics)。數學家本身研究純數學,就是研究數學本身的實質性內容,不以任何實際應用為出發。然而,許多研究以純數學為開端的領域,過程中也發現許多應用之處,於是數學被廣泛使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學、經濟和金融等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新純數學學科的發展。

 

純數學讓人感覺比較抽象,研究它的目的不是為了某項應用,而是為了數學本身的推進,或者單純的好奇心和"美感"。研究結果的價值判斷在於它對於數學這個學科本身是否重要,論證結果本身是否優美,以及證明中有多少原創和巧妙的思路,亦即前述所說的"美感"。

 

純數學大致再可區分為算術(Arithmetic)、代數(Algebra)、幾何(Geometry) 及 數學分析(Mathematical Analysis) 的次領域,分別對應於研究數量、結構、空間及變化。

 

算術研究數的性質及其運算,簡單來說就是整數,及加減乘除運算,複雜如指數、平方根、複數、圓周率π、自然指數e、質數等。代數的研究物件不僅是數位,還有各種抽象化的結構,譬如群、環、域、模、線性空間,也包括向量及矩陣等。

 

另外,在算術與代數分支中,還有一個被譽為"最純"的數學領域,那就是數論(Number Theory)。數論專注於研究數位中,"所有數"的特徵,比如單單是質數的性質就產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想、孿生質數猜想等,也包括科普書常提到的黎曼猜想、費馬猜想等數學難題。組合數學(Combinatorics)是指組合計數、圖論、代數結構、數理邏輯等,廣義來說還包括離散數學(Discrete mathematics)。

 

幾何主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間關係,從最初期的長度、面積、體積,及三角函數知識,演進到拓撲學及微分幾何等,也應用在藝術、建築、物理,和天文等領域。拓撲學(Topology)主要是研究空間內連續變化中,保持不變的性質。最典型拓撲學研究物件便是DNA的雙螺旋結構,最有名的一個例子就是,在拓撲學的概念中,馬克杯跟甜甜圈是一樣的。微分幾何則是運用微積分的理論,研究空間的幾何性質的數學分支學科,愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數學基礎。

 

數學分析是瞭解及描述"變化",而微積分更為研究變化的有利工具,也包含向量微積分、微分方程式、動力系統、混沌理論、複分析等次領域。微分方程式(Differential Equation)是一種數學方程式,大量應用在物理、化學、工程學、經濟學等,用來描述某一類函數與其導數之間的關係。然而,對於現今大多是複雜的微分方程而無法求得解析解時,可用數值分析的方式,利用電腦來尋求其數值解。

 

應用數學則截然不同,它的研究動機就是為瞭解決實際的問題,譬如一個工程上的方程如何有效率的求出它的解,如何優化一個實際的生產過程,如何設計一個可行的演算法來解決一個具體的問題等。研究是否有價值在於結果能不能更好的解決問題,以及解決的效率是否合乎成本效益。

 

應用數學的次領域包括了數學物理、數值分析、優化、機率論、統計學、生物統計學、計量金融、賽局理論、生物數學、運籌學、控制論等。數值分析是指用電腦求解數學計算問題的計算方法及其理論的學科,通常是設計及分析一些計算的方式,可針對一些問題得到近似但夠精確的結果。

 

賽局理論(Game Theory),或稱博弈理論,是社會科學研究的一種工具,也是經濟學的一個分支,是一個在競合關係的環境中,如何尋求自己最大利益與勝算的理論,被廣泛運用在生物學、國際關係、軍事戰略,及經濟學中。電影"美麗境界"男主角原型,前普林斯頓大學數學系教授約翰•奈許就是在博弈論做出重大貢獻而揚名國際,也因此獲得1994年諾貝爾經濟學獎。

 

現代管理學中的運籌學(Operations Research)也是一門應用數學學科。運籌學利用數學手法和模型等,去尋找複雜問題中的最佳或近似最佳的解答,特別是改善或優化現有系統的效率,譬如工廠生產規劃、人員排班、原材料供應鏈規劃、車輛路線最優化等。控制理論是工程學與數學的跨領域分支,是自動化、機械跟電機工程等專業的核心課程,主要處理有輸入信號的動力系統行為。

 

數學專業一般的核心課程包括微積分、線性代數、分析、微分方程、幾何學、複數分析、離散數學、數論、機率、拓撲學等。
 




TOP

Information

留學資訊